本卷提要

本卷叙述欧多克索斯的比率及比率的抽象理论。

※定义V.3，比例的性质及其定义。

※定义V.5、V.6，比例的定义。

※定义V.9，比率平方的定义。

命题V.1，量之和的乘积分配：m（x1＋x2＋…＋xn）＝mx1＋mx2＋…＋mxn。

命题V.2，数之和的乘积分配：（m＋n）x＝mx＋nx。

命题V.3，乘积的联合：m（nx）＝（mn）x。

命题V.5，量之差的乘积分配：m（x-y）＝mx-my。

命题V.6，数之差的量乘积分配：（m-n）x＝mx-nx。

以下的命题发展了比率及比例理论，从它们的基础的特性，到较高级的属性。

命题V.4，如果w∶x＝y∶z，那么，mw∶mx＝ny∶nz。

命题V.7及其推论，比率中的相等替换。如果x＝y，那么x∶z＝y∶z且z∶x＝z∶y；如果w∶x＝y∶z，那么x∶w＝z∶y。

命题V.8，如果x＜y，那么x∶z＜y∶z，但z∶x＞z∶y。

命题V.9，如果x∶z＝y∶z，那么x＝y；同时，如果z∶x＝z∶y，那么x＝y。

命题V.10，如果x∶z＜y∶z，那么x＜y。但如果z∶x＜z∶y，那么x＞y。

命题V.11，相等比率的传递性。如果u∶v＝w∶x且w∶x＝y∶z，那么u∶v＝y∶z。

命题V.12，如果x1∶y1＝x2∶y2＝…＝xn∶yn，那么这些比率也等于其和的比率：（x1＋x2＋…＋xn）∶（y1＋y2＋…＋yn）。

命题V.13，比率不等式中的相等比率的替换。如果u∶v＝w∶x且w∶x＞y∶z，那么u∶v＞y∶z。

命题V.14，如果w∶x＝y∶z且w＞y，那么x＞z。

命题V.15，x∶y＝nx∶ny。

命题V.16，更迭比例。如果w∶x＝y∶z，那么w∶y＝x∶z。

命题V.17、V.18，合比与分比及其逆命题。如果（w＋x）∶x＝（y＋z）∶z，那么w∶x＝y∶z；如果w∶x＝y∶z，那么（w＋x）∶x＝（y＋z）∶z。

命题V.19及推论，如果（w＋x）∶（y＋z）＝w∶y，那么，（w＋x）∶（y＋z）＝x∶z；如果（u＋v）∶（x＋y）＝v∶y，那么（u＋v）∶（x＋y）＝u∶x。

命题V.22，等比。如果x1∶x2＝y1∶y2，x2∶x3＝y2∶y3，…，及xn-1∶xn＝yn-1∶yn，那么x1∶xn＝y1∶yn。

命题V.23，混比。如果u∶v＝y∶z且v∶w＝x∶y，那么u∶w＝x∶z。

命题V.24，如果u∶v＝w∶x且y∶v＝z∶x，那么（u＋y）∶v＝（w＋z）∶x。

命题V.25，如果w∶x＝y∶z，w是四个量中最大的量，z是最小的量，那么w＋z＞x＋y。

第5卷的逻辑结构

第5卷是比和比例的基础，与前面各卷无关。第6卷包含平面几何的比，其证明依赖于第5卷中的结论。同时，在第5卷中的无理线和立体几何、第11卷至第13卷关于比的讨论也依赖于第5卷。第7卷至第9卷的数论不直接依赖于本卷，因为，数的比有不同的定义。

然而，尽管欧几里得小心谨慎地证明他使用的比的结论，但还是有一些疏漏，比如比例的三分法则。在对定义V.4～V.7的注解中，对此有所描述。

在卷5的部分命题要求处理定义V.4。