定义

V.1 当一个较小量能测尽较大量时，小量被称为大量的部分。

V.2 当一个较大量能被较小量测尽时，我们称大量为小量的倍数量。

V.3 同类的量之间的大小关系叫作“比”。

V.4 当一个量数倍以后能大于另一个量，则说两个量有一个比。

V.5 有四个量，第一个量比第二个量等于第三个量比第四个量，那么，第一、第三量或者第二、第四量同时扩大相同的倍量，两个比依然相等。

V.6 有相同比的四个量称为成比例的量。

V.7 在四个量之间，第一、三个量取相同的倍数，且第二、四个量取另一相同倍数，若第一个的倍量大于第二个的倍量，且第三个的倍量不大于第四个的倍量，那么，第一个量与第二个量的比大于第三个量与第四个量的比。

V.8 一个比例至少有三个项。

V.9 当三个量成比例时，那么，第一个量与第三个量的比是第一个量与第二个量的二次比。

V.10 当四个量成连续比例时，第一量与第四量的比称为第一量与第二量的三次比。无论量的多少，依此类推。

V.11 在成比例的四个量中，前项与前项、后项与后项称为对应量。

V.12 前项比前项等于后项比后项称为更比。

V.13 把更比的后项作前项，前项作后项称为逆比。

V.14 前项与后项的和比后项称为合比。

V.15 前项与后项的差比后项称为分比。

V.16 前项比前项与后项的差称为交换比。

V.17 有一些量，又有一些与它们个数相等的量，若在各组每取二量作成相同的比例，则第一组量中首量比尾量等于第二组中首量比尾量，这称为首末比。或者说，这是抽取中间项，保留两头的项。

V.18 调动比例是，有三个量，又有另外与它们个数相等的三个量，在第一组量中，前项比后项等于第二组量中的前项比后项，这时，第一组量中的后项比第三项等于第二组中的第三项比前项。

注解

比及比例论

本卷是比及比例理论。一个比为两个量的大小关系。本卷叙述比例理论，为第6卷的几何比例的命题打下基础。命题VI.1是一个阐释何为几何比例的很好实例，该命题叙述在等高的三角形中，高与底边成比例，即两个三角形中的高之比等于它们相应的底边之比。举一个简单的例子，当一条底边是另一条底边的两倍时，它对应的三角形也是对应边的两倍，那么这一比是2∶1，这是很好理解的。那么，任何一个比皆是两个数的比也是很好理解的。线之比等于数之比，比如A∶B＝8∶5，有两种解释，一是有一条较短的线A是8cm，那么B＝5cm。这一解释出现在卷7的定义中。第二种解释是5A＝8B。如果A∶B是一个数的比，那么，A和B是可公约的，即两者都可以被一个公约数所测尽。

但是，许多线段是不可公约的。如果一个正方形的边是A，对角线是B，那么，A和B是不可公约的；A∶B就不是一个数之比。这一事实由毕达哥拉斯发现。