命题IV.9

给定一个正方形可以作一个外接圆。

设：ABCD为给定的正方形。

求作：正方形ABCD的外接圆。

令：连接AC、BD，使其相交于E点。

那么，因为DA等于AB，AC是公共边，所以：DA、AC分别等于AB、AC，底DC等于底BC。

所以：∠DAC等于∠BAC（命题I.8）。

所以：∠BAD被AC线平分。同样，可以证明∠ABC、∠BCD和∠CDA分别被线AC、BD平分。

因为∠DAB等于∠ABC，∠EAB是∠DAB的一半，∠EBA是∠ABC的一半，所以：∠EAB也等于∠EBA。

所以：EA边也等于EB边（命题I.6）。

同理，线段EA、EB也等于线段EC、ED。

所以：四条线段EA、EB、EC和ED彼此相等。

所以：以E为圆心，以EA、EB、EC或ED之一为半径的圆经过余下的点，并外接于正方形ABCD。

所以：给定一个正方形可以作它的外接圆。

证完

注解

这是圆与正方形的四个命题中的一个。证明是简单明了的。