命题IV.8

给定一个正方形可以作一个内切圆。

设：ABCD为给定的正方形。

求作：正方形ABCD的内切圆。

令：平分AD、AB，平分点分别为E和F。过E点作EH平行于AB或CD；过F点作FK平行于AD或BC。那么AK、KB、AH、HD、AG、GC、BG和GD都是平行四边形，其对边相等（命题I.10、I.31、I.34）。

那么因为AD等于AB，AE是AD的一半，AF是AB的一半。所以：AE等于AF。所以：对边也相等。所以：FG等于GE。

同样，也能证明出线段GH、GK分别等于FG、GE。

所以：四条线段GE、GF、GH和GK相等。

所以：以G为圆心，分别以GE、GF、GH和GK之一为半径的圆经过余下的点。并与线段AB、BC、CD和DA相切，因为在E、F、H和K点上的角为直角。

假如圆与AB、BC、CD和DA相切，则从尾点与直径形成直角的线段将落在圆内，这被证明是荒谬的。

所以：以G为圆心，分别以GE、GF、GH和GK之一为半径的圆不可能与直线AB、BC、CD和DA相交（命题III.16）。

所以：这个圆与它们相切，并作在正方形ABCD内。

所以：给定一个正方形可以作一个内切圆。

证完