2.1　算子的定义

算子是指在相同数域上的向量空间之间的映射，特别是赋范向量空间（如函数空间）之间的映射。非线性算子又称非线性映射，是不满足线性条件的算子[1]。非线性系统∑总是和它的输入—输出映射P（operator，即算子）等同看待，如图2-1所示。

其中，非线性系统∑与非线性算子P可以表示为

式中，U和Y分别是输入和输出函数空间，均为赋范线性空间。

定义1：赋范线性空间

设E是实数（或复数）域K上的线性空间。若按一定规则∀x∈E→∃|实数‖x‖≥0，且满足下列三条（范数公里）：

（1）正定性：‖x‖≥0，当且仅当x=0时，‖x‖=0；

（2）齐次性：‖αx‖=α·‖x‖，其中，α为α的模；

（3）三角不等式：∀x, y∈E，有|‖x‖-‖y‖|≤‖x+y‖≤‖x‖+‖y‖。

则称实数‖x‖为x的范数，称E为赋范线性空间，记作（E，‖·‖）或E。

定义2：算子P的范数

算子P的范数按照下式定义：

也可定义如下：

其中，u0∈Us是任意的。也可以如下定义半范数：

定义3：扩展的Banach空间

令X为定义域为[0，∞）的实数函数上的Banach空间，扩展的Banach空间Xe与X由定义在[0，∞）上的实数域函数x（t）所构成的向量空间：

其中，xT（t）是被T切断的x（t），定义如下：

定义4：因果非线性算子

令P：D（G）→R（G）是一个非线性算子，该算子是在扩展Banach空间上的范围D（G）到另一个扩展Banach空间上的变化范围R（G）上的映射。如果对任意的函数x（·），s（·）∈D（G），意味着

其中，T∈[0，∞），0≤t≤∞，那么算子P被称为有因果关系的。

定义5：稳定算子

令Us和Ys分别是赋范线性空间U和Y的稳定子空间，一般地，

如果P（Us）⊆Ys，那么算子P称为稳定的。

定义6：单模算子

如果算子P可逆，且P和P-1都是稳定的，则称算子P为单模算子。显然，对于单模算子P有：

定义7：广义的Lipschitz算子

令Xe、Ye为两个扩展的Banach空间，它们与定义在[0，∞）上的实数域函数的Banach空间相关联，且有子空间U满足U⊆Ye。非线性算子P：U→Ye被称为U上的广义Lipschitz算子[2]。

如果存在常数c满足：

其中，∀x, s∈U且T∈[0，∞）。这样最小的c由下式决定：

c被称为广义Lipschitz算子的子范数和非线性算子P的实范数。非线性算子的实范数由下式定义：

此外，如果一个Lipschitz算子是稳定的，那么它被称为是有限增益稳定的。由式（2-12）可以得到：

在此声明，本书中所有的有界线性算子是广义Lipschitz算子。我们并不是只考虑有限增益稳定，因为输入空间中的输入函数可能被映射到它的变化范围内的某个地方，而不在其输出空间中，所以一个有限增益算子在上述定义7下可能是不稳定的[3]。