命题V.4

如果第一个量比第二个量与第三个量比第四个量的比相同，那么第一个量比第三个量的倍量与第二个量比第四个量的倍量相同。

设：第一个量值a比第二个量值b与第三个量值c比第四个量值d有相同的比，e和f分别是a和c的等倍数，g和h分别是b和d的等倍数。

求证：e比g等于f比h。

令：k为e的等倍量，l为f的等倍量，m为g的等倍量，n为h的等倍量。

因为e为a的等倍量，f为c的等倍量，k为e的等倍量，l为f的等倍量。所以：k是a的倍数，l是c的倍数。

同理，m是b的倍数，n是d的倍数（命题V.3）。

又，因为a比b等于c比d，k和l是a和c的等倍量，m和n是b和d的等倍量，所以：如果m大于k，那么n大于l。

如果相等则也相等，如果小于则也小于（定义V.5）。

又，k和l是e和f的等倍量，m和n是g和h的等倍量。

所以：e比g等于f比h（定义V.5）。

所以：如果第一个量比第二个量与第三个量比第四个量的比相同，那么第一个量比第三个量的倍量与第二个量比第四个量的倍量相同。

证完

注解

注意，欧几里得应用定义证明两个比例pa∶（qb）与pc∶（qd）是相同的（这里，a和b是一个类的量，c和d是另一个类的量，但p和q是数）。我们给出a∶b＝c∶d，这意味着对于任何数m和n来说，如果ma＞＝＜nb，那么mc＞＝＜nd。

对于任何数p和q来说，我们必须证明pa∶（qb）＝pc∶（qd），这即是说，我们必须证明对任何数m和n来说，如果mpa＞＝＜nqb，那么mpc＞＝＜nqd。

但这只是给出关系的特殊形式：

如果ma＞＝＜nb，那么mc＞＝＜nd。

这一命题应用在命题V.22中。