命题III.20

在一个圆中，同弧所对的圆心角等于圆周角的两倍。

设：圆为ABC，∠BEC是圆心角，∠BAC是圆周角，它们有共同的以BC为底的弧。

求证：∠BEC是∠BAC的两倍。

令：连接AE，并延长至F。

因为EA等于EB，∠EAB也等于∠EBA，所以：∠EAB、∠EBA的和是∠EAB的两倍（命题I.5）。

又，∠BEF等于∠EAB与∠EBA之和，所以：∠BEF也等于∠EAB的两倍（命题I.32）。

同理，∠FEC也等于∠EAC的两倍。

所以：∠BEC是∠BAC的两倍。

又，令另一条直线移动位置，构成另一个∠BDC，连接DE并延长至G。

同样，能证明∠GEC是∠EDC的两倍，其中∠GEB是∠EDB的两倍。所以：余角∠BEC是∠BDC的两倍。

所以：在一个圆中，同弧所对的圆心角是圆周角的两倍。

证完

注解

这一命题应用在下一命题中，也应用在命题III.27、VI.33中。