第10章　函数项级数

10.1　复习笔记

一、函数项级数的一致收敛性

1．点态收敛

（1）函数项级数

设u_n（x）（n＝1，2，3，…）是具有公共定义域E的一列函数，将这无穷个函数的“和”

u₁（x）＋u₂（x）＋…＋u_n（x）＋…

称为函数项级数，记为

（2）收敛点与收敛域

①设u_n（x）（n＝1，2，3，…）在E上定义，对于任意固定的x_n∈E，若数项级数的收敛点．

②函数项级数的收敛点全体所构成的集合称为的收敛域．

（3）和函数

设的收敛域为，则就定义了集合D上的一个函数

S（x）称为的和函数，并称在D上点态收敛于S（x）．

2．函数项级数（或函数序列）的一致收敛性

（1）一致收敛的定义

①设{S_n（x）}（x∈D）是一函数序列，若对任意给定的ε＞0，存在仅与ε有关的正整数N（ε），当n＞N（ε）时，

|S_n（x）－S（x）|＜ε

对一切x∈D成立，则称{S_n（x）}在D上一致收敛于S（x），记为S（x）．

②若函数项级数的部分和函数序列{S_n（x）}，其中S_n（x），在D上一致收敛于S（x），则称在D上一致收敛于S（x）．

（2）函数项级数一致收敛的必要条件

若函数项级数在D上一致收敛，则函数序列{u_n（x）}在D上一致收敛于u（x）≡0．

（3）内闭一致收敛

若对于任意给定的闭区间[a，b]" />D，函数序列{S_n（x）}在[a，b]上一致收敛于S（x），则称{S_n（x）}在D上内闭一致收敛于S（x）．

注：在D上一致收敛的函数序列必在D上内闭一致收敛，但其逆命题不成立．

（4）一致收敛性的判别定理

①设函数序列{S_n（x）}在集合D上点态收敛于S（x），定义S_n（x）与S（x）的“距离”为

则{S_n（x）}在D上一致收敛于S（x）的充分必要条件是：

②设函数序列在集合D上点态收敛于S（x），则在D上一致收敛于S（x）的充分必要条件是：对任意数列成立

二、一致收敛级数的判别与性质

1．一致收敛的判别

（1）函数项级数一致收敛的Cauchy收敛原理

①函数项级数在D上一致收敛的充分必要条件是：对于任意给定的ε＞0，存在正整数N＝N（ε），使

对一切正整数m＞n＞N与一切成立．

②（函数序列一致收敛的Cauchy收敛原理）函数序列在D上一致收敛的充分必要条件是：

（2）Weierstrass判别法

设函数项级数的每一项满足

并且数项级数收敛，则在D上一致收敛．

（3）Abel判别法与Dirichlet判别法

设函数项级数满足如下两个条件之一，则在D上一致收敛．

①（Abel判别法）函数序列对每一固定的关于n是单调的，且

在D上一致有界：

同时，函数项级数在D上一致收敛．

②（Dirichlet判别法）函数序列对每一固定的关于n是单调的，且在D上一致收敛于0；同时，函数项级数的部分和序列在D上一致有界，即

2．一致收敛级数的性质

（1）连续性定理

①设函数序列的每一项S_n（x）在[a，b]上连续，且在[a，b]上一致收敛于S（x），则S（x）在[a，b]上也连续．

②设对每个n，u_n（x）在[a，b]上连续，且在[a，b]上一致收敛于S（x），则S（x）在[a，b]上连续．这时，对任意，成立

即极限运算与无限求和运算可以交换次序．

（2）逐项积分定理

①设对每个n，u_n,（x）在[a，b]上连续，且在[a，b]上一致收敛于S（x），则S（x）在[a，b]上可积，且

即积分运算可以和无限求和运算交换次序．

②（函数序列的逐项积分定理）设函数序列的每一项S_n（x）在[a，b]上连续，且在[a，b]上一致收敛于S（x），则S（x）在[a，b]上可积，且

（3）逐项求导定理

①（函数序列的逐项求导定理）设函数序列满足：

a．在[a，b]上有连续的导函数；

b．在[a，b]上点态收敛于S（x）；

c．在[a，b]上一致收敛于σ（x），则S（x）在[a，b]上可导，且

②（函数项级数的逐项求导定理）设函数项级数满足

a．在[a，b]上有连续的导函数；

b．在[a，b]上点态收敛于S（x）；

c．在[a，b]上一致收敛于σ（x），

则（x）在[a，b]上可导，且

即求导运算可以与无限求和运算交换次序．

（4）Dini定理

①设函数序列在闭区间[a，b]上点态收敛于S（x），如果

a.在[a，b]上连续；

b.S（x）在[a，b]上连续；

c.关于n单调，即对任意固定的x∈[a，b]，是单调数列，则在[a，b]上一致收敛于S（x）．

②设函数项级数在闭区间[a，b]上点态收敛于S（x），如果

a.在[a，b]上连续；

b.S（x）在[a，b]上连续；

c.对任意固定的x∈[a，b]，是正项级数或负项级数；则在[a，b]上一致收敛于S（x）．

三、幂级数

1．幂级数的定义

幂级数是一类特殊的函数项级数，其形式为

2．幂级数的收敛半径

（1）定义

令

则定义

幂级数的收敛半径即为R，并当R＝＋∞时，幂级数对一切都是绝对收敛的；当R＝0时，幂级数仅当x＝x₀时收敛．

（2）Cauchy-Hadamard定理

幂级数，当时绝对收敛；当|x|＞R时发散．

注：①在区间的端点x＝±R，幂级数收敛与否必须另行判断．

②对于，则有平行的结论：幂级数在以x₀为中心，以R为半径的对称区间内绝对收敛，而在该区间外发散．在区间的端点处，幂级数的敛散性必须另行判断．

（3）d’Alembert判别法

如果对幂级数成立

则此幂级数的收敛半径为R＝1/A．

3．幂级数的性质

（1）Abel第二定理

设幂级数的收敛半径为R，则

①在（－R，R）上内闭一致收敛，即在任意闭区间R）上一致收敛；

②若在x＝R收敛，则它在任意闭区间上一致收敛．

类似地可进一步得到：若在x＝－R收敛，则它在任意闭区间上一致收敛；若在x＝±R都收敛，则它在[－R，R]上一致收敛．

概括地说，幂级数在包含于收敛域中的任意闭区间上一致收敛．

（2）幂级数的性质和相关定理

①和函数的连续性：幂级数在它的收敛域上连续．

②定理  设的收敛半径为R，则和函数在（－R，R）上连续；若在x＝R（或x＝－R）收敛，则和函数在x＝R（或x＝－R）左（右）连续．

③逐项可积性：幂级数在包含于收敛域中的任意闭区间上可以逐项求积分．

④定理  设a，b是幂级数收敛域中任意二点，则

特别地，取a＝0，b＝x，则有

且逐项积分所得幂级数与原幂级数具有相同的收敛半径．

⑤逐项可导性  幂级数在它的收敛域内部可以逐项求导．

⑥定理  设的收敛半径为R，则它在（－R，R）上可以逐项求导，即

且逐项求导所得的幂级数的收敛半径也是R．

四、函数的幂级数展开

1.Taylor级数与余项公式

（1）Taylor级数

①假设函数f（x）在x₀的某个邻域O（x₀，r）上可表示成幂级数

即幂级数在O（x₀，r）上的和函数为f（x）．由幂级数的逐项可导性，f（x）必定在O（x₀，r）上任意阶可导，且对一切k∈N⁺，

令x＝x₀，得到

称由和函数f（x）惟一确定的系数{a_n}为f（x）在x₀的Taylor系数．

②设函数f（x）在x₀的某个邻域O（x₀，r）上任意阶可导，则能求出它在x₀的Taylor系数

，并作出幂级数

称其为f（x）在x₀的Taylor级数．

注：一个任意阶可导的函数的Taylor级数并非一定能收敛于函数本身．

（2）余项公式

设f（x）在O（x₀，r）有n＋1阶导数，则

其中r_n（x）是n阶Taylor公式的余项．

（3）相关定义、定理

①定理  设f（x）在O（x₀，r）上任意阶可导，则

其中

②对余项r_n（x）的积分形式应用积分第一中值定理，考虑到当t∈[x₀，x]（或[x，x₀]）时，（x－t）ⁿ保持定号，于是就有

（ξ在x₀与x之间）

　  0≤θ≤1，

此时r_n（x）就是Lagrange余项．

③如果将f^（n+1）（t）（x－t）ⁿ看作一个函数，应用积分第一中值定理，则有

（ξ在x₀与x之间）

  0≤θ≤1，

此时r_n（x）的这一形式称为Cauchy余项．

2．初等函数的Taylor展开

（1）x∈（－∞，＋∞）；

（2）

（3）

（4）

（5）

（6）f（x）＝（1＋x）^α，α≠0是任意实数．

①当α是正整数m时，

即它的Taylor展开就是二项式展开，只有有限个项．

②当α不是正整数时，由于f（x）＝（1+x）^α的各阶导数为

f^（k）（x）＝α（α－1）…（α－k＋1）（1＋x）^α－k，k＝1，2，…，

可知f（x）在x＝0的Taylor级数为

（7）x∈[－1，1]．

五、用多项式逼近连续函数

1．相关定义

（1）多项式一致逼近

设函数f（x）在闭区间[a，b]上有定义，如果存在多项式序列{P_n（x）}在[a，b]上一致收敛于f（x），则称f（x）在这闭区间上可以用多项式一致逼近．

（2）多项式一致逼近另一种表述

f（x）在[a，b]上可以用多项式一致逼近的充分必要条件为：对任意给定的ε＞0，存在多项式P（x），使得

对一切x∈[a，b]成立．

2．相关定理

（1）Weierstrass第一逼近定理

设f（x）是闭区间[a，b]上的连续函数，则对任意给定的ε＞0，存在多项式P（x），使得

对一切x∈[a，b]成立．

（2）Weierstrass第一逼近定理另一种表述

设f在[a，b]上连续，则它的Bernstein多项式序列{B_n（f，x）}在[a，b]上一致收敛于f．