1.2 概率的基本性质

在1.1节中，从三个不同的角度给出了概率的定义，它们各适合一类随机现象，有着各自确定概率的方法。那么，通过这些方法确定的概率是不是具有某些共性呢？下面来介绍概率的基本性质。

性质1（非负性）对于任意事件A，有

性质2（规范性）必然事件Ω的概率为1，即

性质3（可列可加性）对于可列个两两互不相容事件A1，A2，…，有

性质1，2，3是苏联数学家柯尔莫哥洛夫提出的概率的公理化定义中所规定的概率必须满足的三条公理，由这三条公理可以推导出概率的其他性质。

性质4 不可能事件㊣的概率为0，即

证明：由于可列个不可能事件之和仍为不可能事件，所以

所以

由性质1和性质2可得

得证。

性质5（有限可加性）对于任意n个事件A1，A2，…，An，若AiAj=（i，j=1，2，…，n；i≠j），则

证明：令An+1 =An+2 =…=，因此有AiAj=（i，j=1，2，…，i≠j），由性质3得

得证。

特别地，当n=2时，对于任意两个互不相容事件A和B，有P（A∪B）=P（A）+P（B）。

【例1-6】 某工厂一个班组有男工7人、女工4人，现要选出3个代表，求3个代表中至少有一个女工的概率。

解：这是一个古典概型问题，样本空间包含的全部样本点数为。将“3个代表中至少有一个女工”记为事件A，则事件A是三个两两互不相容事件“3个代表中有i个是女工”（i=1，2，3）的和。记“3个代表中有i个是女工”（i=1，2，3）为Ai，则A=A1 +A2 +A3，又

故所求概率为

性质6 对于任意事件A，有

证明：因为A∩A=㊣，根据性质5，有

又，故，即，移项得，得证。

根据性质6可知，通过事件A的概率，可以很容易地得到它的逆事件的概率。同样地，事件A的概率可以借助于A的概率来求解。在实际问题中，合理运用这一性质将有效地简化一些问题的求解步骤。

例如，例1-6中的问题也可以这样来求解：将“3个代表中至少有一个女工”记为事件A，则=“3个代表全部为男工”，而，根据性质6可求得

性质7 对于任意事件A和B，若A⊃B，则

证明：由于A⊃B，故有

A=B∪（A-B）

又B∩（A-B）=，根据性质5，有P（A）=P（B∪（A-B））=P（B）+P（A-B）

移项可得

P（A-B）=P（A）-P（B）

得证。

特别地，当A⊃B时，根据性质1有P（A-B）≥0，因此必有P（A）≥P（B）。

性质8（减法公式）对于任意事件A和B，有

证明：由于A-B=A-AB，且AB⊂A，根据性质7有

P（A-B）=P（A-AB）=P（A）-P（AB）

得证。

性质9（加法公式）对于任意事件A和B，有

证明：因A∪B=A∪（B-AB），又A∩（B-AB）=㊣，根据性质5，有

P（A∪B）=P（A）+P（B-AB）

又B⊃AB，根据性质5，P（B-AB）=P（B）-P（AB），代入上式可得P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB），得证。

特别地，当A与B为互不相容事件时，AB=，P（A∪B）=P（A）+P（B），同性质5。

【例1-7】 已知某学校向学生发行两种电子刊物A和B，且该校学生中订阅刊物A的占65%，订阅刊物B的占50%，同时订阅刊物A和B的占30%，试求：从该学校学生中随机地抽取一名，该学生订阅电子刊物的概率。

解：若以A记“学生订阅刊物A”，以B记“学生订阅刊物B”，则学生订阅电子刊物为事件A∪B。根据概率的加法公式，有

P（A∪B）=P（A）+P（B）-P（AB）=0.65+0.5-0.3=0.85

概率的加法公式可以推广到具有多个事件的场合。

性质10（一般加法公式）对任意n个事件A1，A2，…，An，有

特别地，

P（A1∪A2∪A3）=P（A1）+P（A2）+P（A3）-P（A1A2）-P（A2A3）-P（A1A3）+P（A1A2A3）

【例1-8】 某人写好n封信，又写好n个信封，然后在黑暗中把每封信放入一个信封中，试求至少有一封信与信封匹配的概率。

解：若以Ai记第i封信与信封匹配，则所求事件为A1∪A2∪…∪An，因此，根据一般加法公式，首先有

因此